И.М. Кузяев, д-р техн. наук
В.Н. Анисимов, канд. техн. наук
ГВУЗ «Украинский государственный химико-технологический университет», г. Днепропетровск, Украина
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ДЛЯ УЗЛОВ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ
Рассмотрены неизотермические процессы, происходящие в процессе эксплуатации подшипников скольжения. Представлено решения для определения температурного поля и температурных напряжений в теле втулки, выполненной из полимерного материала. Решение для определения температурного поля в теле подшипника получено с использованием интегрального преобразования Лапласа. Температурные напряжения находились с учетом вязкоупругих свойств материала втулки подшипника. Разработаны программные блоки САПР для реализации полученных математических моделей с использованием математического пакета Mathcad.
Ключевые слова: подшипник, температурное поле, напряжение, преобразование Лапласа.
Розглянуто неізотермічні процеси, що відбуваються в процесі експлуатації підшипників ковзання. Представлено рішення для визначення температурного поля й температурних напружень у тілі втулки, виконаної з полімерного матеріалу. Рішення для визначення температурного поля в тілі підшипника отримано з використанням інтегрального перетворення Лапласа. Температурні напруження визначалися з урахуванням в’язкопружних властивостей матеріалу втулки підшипника. Розроблено програмні блоки САПР для реалізації отриманих математичних моделей з використанням математичного пакета Mathcad.
Ключові слова: підшипник, температурне поле, напруження, перетворення Лапласа.
Not isothermal processes occurring while in service of bearings of sliding are considered. It is presented decisions for definition of a temperature field and temperature pressure in a body of the plug executed from a polymeric material. The decision for definition of a temperature field in a bearing body is received with use of integrated transformation Laplace. Temperature pressure were taking into account viscoelastic properties of a material of the plug of the bearing. Program blocks SAPR are developed for realization of the received mathematical models with use of mathematical package Mathcad.
Key words: the bearing, a temperature field, pressure, transformation Laplace.
Постановка проблемы. В подавляющем большинстве оборудования, имеющего вращательные элементы, используются подшипники скольжения, одним из основных элементов которых являются вкладыши или втулки, выполненные из антифрикционного материала. При этом данного типа подшипники могут работать в режиме жидкостного трения или без смазки. В последнем случае втулки изготавливаются из самосмазывающихся материалов, что значительно упрощает конструкцию подшипникового узла, устраняя конструктивные элементы, связанные с подачей и отводом смазывающихся материалов.
Основные условия функционирования подшипников скольжения с самосмазывающимися материалами связаны с тем, что в процессе скольжения возникают микроабразивные частицы, которые имеют способность высвобождать твердую смазку из граничного слоя скольжения, внедренную в самосмазывающийся материал. При этом создается прочная пленка твердой смазки на сопрягаемых поверхностях. В процессе износа этой пленки при скольжении, обусловленном высокой скоростью движения или сторонними частицами, возникают дополнительные энергетические условия, приводящие к возрастанию износа, что, в свою очередь, приводит к высвобождению дополнительной порции сухой твердой смазки, вызывающей восстановление смазывающей пленки. Протекание процесса по данной схеме особую ценность имеет при эксплуатации оборудования в тяжелых условиях работы, а именно, при больших уровнях нагрузок и высоких температурных полях, возникающих как под воздействием внешних температурных полей, так и за счет сил трения в зоне контакта с вращающимися и неподвижными элементами подшипника скольжения. Поэтому особое значение при проектировании подшипников скольжения имеет оптимизация температурно-силовых факторов в соответствии с геометрическими параметрами и свойствами используемых рабочих элементов.
Анализ публикаций. Для описания неизотермических процессов, возникающих в подшипниковых узлах скольжения, следует воспользоваться уравнениями баланса тепловой энергии с соответствующими граничными условиями. При этом в зависимости от геометрической конфигурации рабочих элементов выбирается и соответствующая система координат. Как правило, рабочие элементы подшипников скольжения выполнены цилиндрической формы, значит и для построения математической модели следует воспользоваться цилиндрической системой координат. При этом для описания температурного поля в цилиндрических элементах при нестационарных режимах работы, выполнив необходимые допущения, приходим к уравнениям теплопереноса в таком виде [1-4]:
, (1)
где – функциональная зависимость температуры от радиуса и времени ; – плотность материала втулки; , – коэффициенты соответственно теплоемкости и теплопроводности.
В работе [5], базируясь на уравнении (1), разработана математическая модель, позволяющая моделировать температурные поля в подшипниковом узле скольжения. При этом в качестве расчетной схемы принята трехслойная модель, в средине которой находится втулка. Параметры втулки, входящие в уравнение (1), обозначаются индексом . Наружным и внутренним элементами данной модели будут корпус и вал, параметры которых обозначаются соответственно индексами и .
С целью определения зависимости температуры от параметров, входящих в уравнение (1), в явном виде следует выбрать соответствующие граничные условия по радиусу и начальное условие по времени.
Для втулки на внутренней границе, вследствие наличия сил трения между ней и валом, следует принять температурное условие второго рода, а именно:
при . (2)
В выражении (2) введены такие обозначения: – внутренний радиус втулки; – тепловой поток на границе раздела вал-втулка, который можно представить в нескольких видах (в зависимости от наличия и конструктивного исполнения системы охлаждения вала). Если вал имеет систему для охлаждения, например, вал выполнен с центральным отверстием для подвода хладагента, то тепловой поток на границе можно записать так:
, (3)
где – коэффициент трения между втулкой и поверхностью вала; – давление, развиваемое на границе раздела вал-втулка; – толщина тела вала (разность между наружным и внутренним диаметрами вала); – линейная скорость наружной поверхности вала.
При записи выражения (3) и входящих в него величин пренебрегается разницей между внутренним радиусом втулки и наружным радиусом вала (). Кроме того, также принимается равенство между наружным диаметром втулки и внутренним диаметром вала ().
Аналогичным образом можно, в случае наличия охлаждения, представить граничное условие и на наружной границе втулки, а именно:
при , (4)
где
. (5)
В последние два выражения введены такие обозначения: – тепловой поток, который отводится от наружной границы втулки; – наружный радиус втулки; – толщина тела корпуса.
Если же конструктивное исполнение подшипниковых узлов не позволяет выполнить систему охлаждения вала, то большее количество тепла, выделившееся на границе раздела вал-втулка, будет накапливаться в этой зоне. Определенная часть тепла будет отводиться через торцевые поверхности вала и радиальную поверхность вала вне зоны установки подшипника. В таком случае внутреннюю поверхность втулки можно считать теплоизолированной и граничное условие (2) перепишется так:
при , (2а)
где
. (3а)
Величина представляет собой тепло, отводимое через торцевые поверхности вала и радиальную поверхность вала вне зоны установки подшипника.
Решение, как обычных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных типа (1) удобно находить с использованием операционного исчисления, основанного на интегральном преобразовании Лапласа [6-8].
Операционный метод решения задачи можно свести к следующим этапам:
– первый: от искомой функции (оригинала) переходят к функции изображения , при этом величина соответствует действительности переменной, а – в общем случае может быть и комплексной переменной;
– второй: над изображением выполняют операции, которые соответствуют заданным операциям над и получают операторное уравнение относительно . При этом операции над изображением оказываются значительно более простыми, например, дифференцирование оригинала соответствует умножению изображения на переменную , а интегрирование – деление на и т. п.;
– третий: полученное операторное уравнение решают относительно , что, как правило, сводится к простым алгебраическим действиям;
– четвертый: от найденного изображения переходят к оригиналу , который является искомой функцией.
Для перехода от оригинала к изображению в общем случае можно использовать такое выражение:
. (6)
Чтобы осуществить обратный переход (от изображения к оригиналу) опять же в общем случае можно воспользоваться таким соотношением:
, (7)
где – мнимая единица.
Для упрощения прямого и обратного переходов, чтобы каждый раз не пользоваться уравнениями (6) и (7), разработано большое количество теорем. Так, для прямого перехода от оригинала к изображению основной теоремой является теорема о дифференцировании оригинала, которая для производной n-й степени имеет вид:
, (8)
где – начальное условие для искомой величины; , – начальные условия для производных от искомой величины, начиная от первой и заканчивая .
Кроме того, для решения уравнения (1), с учетом прямого и обратного переходов, также используют такие теоремы:
– теорему умножения (теорему Бореля):
, (9)
– вторую теорему разложения:
, (10)
где – значения полюсов; ↔ − двухсторонняя стрелка означает возможность взаимного перехода; .
Цель статьи. Получить математические модели, позволяющие моделировать неизотермические процессы в узлах подшипников скольжения. Полученные уравнения должны позволить описывать температурные поля и температурные напряжения в теле подшипника с учетом его вязкоупругих свойств.
Изложение основного материала. Используя прямое преобразование Лапласа по времени для уравнения (1) с учетом выражения (8), получаем такое операторное уравнение:
, (11)
где – изображение температуры ; − символ производной по координате ; – начальная температура рассматриваемого элемента; – коэффициент температуропроводности .
Уравнение (11) является одной из разновидностью уравнений Бесселя [8; 9], для данного случая его решение имеет следующий вид:
, (12)
где , – функции Бесселя соответственно первого и второго рода нулевого порядка; – мнимая единица; и – константы интегрирования.
Выполняя соответствующие преобразования с учетом приведенных зависимостей, получено решение тепловой задачи для подшипникового узла в таком виде:
, (13)
где
;
.
Комплексы, входящие в последние выражения, имеют вид:
; (14)
; (15)
; (16)
; (17)
. (18)
В уравнения (14) – (18) входят такие обозначения (не введенные ранее): , – функции Бесселя соответственно первого и второго рода первого порядка; ; ; ; – нули, которые определяются из выражения:
. (19)
Определение нулей по уравнению (19) для конкретных геометрических размеров подшипника приведено в программном блоке САПР-1. Графическое представление нулей изображено на рис. 1. Следует отметить, что как рисунке 1, так и все последующие рисунки, полученные в результате расчетов в программных блоках с использованием пакета Mathcad, дополнительно обрабатывались с помощью прикладного пакета Photoshop.
Программный блок САПР-1
Определение нулей по уравнению (19)
а) б)
Рис. 1. Графическое определение нулей:
а − на начальном отрезке; б − на конечном отрезке
Начальные значения нулей
Чтобы решить уравнение (13) с учетом соотношений (14) – (18), при выполнении условия (19), необходимо дополнительно определить температуры на границах втулки, а именно: и . Для этого на основе выражения (13), при подстановке в него соответствующих граничных значений, можно представить такое соотношение в матричной форме:
, (20)
где
;
;
;
;
; ;
; ;
.
Прежде чем воспользоваться полученными формулами для определения температуры в подшипнике, следует иметь соответствующие зависимости коэффициента трения от основных параметров в зоне контакта, а именно: температуры, давления и скорости скольжения.
Для полиуретана экспериментальные значения коэффициента трения от температуры приведены в таблице 1 (для контактного давления = 0,35 МПа и скорости скольжения = 0,4 м/с).
Таблица 1
Зависимость коэффициента трения от температуры для полиуретана
293 |
303 |
313 |
323 |
333 |
343 |
353 |
363 |
373 |
383 |
393 |
403 |
413 |
|
0,85 |
0,94 |
1,02 |
1,08 |
1,13 |
1,18 |
1,19 |
1,2 |
1,16 |
1,1 |
1,04 |
0,97 |
0,9 |
Для того чтобы воспользоваться данными, приведенными в таблице 1, для расчета температурного поля следует выполнить аппроксимацию.
Порядок выполнения аппроксимации с использованием одной из встроенных в пакет Mathcad функций приведен в программном блоке САПР-2. Графики для экспериментальных и аппроксимируемых значений коэффициента трения приведены на рисунке 2.
Программный блок САПР-2
Аппроксимация коэффициента трения
Рис. 2. Графики зависимости коэффициента трения от температуры:
• • • − график для экспериментальных значений ();
─── − график для аппроксимируемых значений ()
Расчет температурного поля во втулке подшипника, выполненного из полиуретана, с учетом граничных условий (2) и (3) и соотношения (20) приведен в программном блоке САПР-3. Объемный график распределения температуры, полученный из программного блока САПР-3, представлен на рисунке 3.
Программный блок САПР-3
Расчет температурного поля во втулке подшипника, исходя из условий (2) и (3)
и соотношения (20)
|
.
Рис. 3. Объемный график распределения температуры в теле втулки, изготовленной
из полиуретана, с учетом граничных условий (2) и (3)
Вследствие того, что на границах втулки будут различные температурные условия, в результате будет возникать перепад температур, вызыва