А.О. Ковтун, канд. фіз.-мат. наук

О.В. Рогоза, канд. фіз.-мат. наук

Чернігівський державний технологічний університет, м. Чернігів, Україна

ВИМІРЮВАННЯ ФАЗОВИХ І ЧАСТОТНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЕЛЕКТРИЧНИХ КОЛИВАНЬ

Запропоновано новий підхід до визначення фазового зсуву між сигналами, що надходять від одного джерела чи різних джерел і подаються на входи осцилографа.

Вступ. Методи оцінки фазових зсувів в електричних колах і пристроях та вимірювання частоти за допомогою електронного осцилографа до цього часу розроблені достатньо. Але неоднозначність трактувань деяких понять, їх невизначеність у різних літературних джерелах змушує звернутись до обговорення й уточнення окремих методів осцилографічних вимірювань з метою підвищення їх ефективності.

Звернемось до найбільш поширеного методу вимірювань частоти і зсуву фаз коливань за допомогою фігур Ліссажу. Для одержання таких фігур на екрані електронно-променевої трубки осцилографа, як відомо, на його входи «х» і «у» подають окремі сигнали, що можуть походити або  від одного джерела, або від різних джерел.

Розглянемо особливості осцилографічних вимірювань для кожного з випадків. Нехай маємо гармонічні коливання:

U = U₁sin(ω₁t + α₁);                                                                                                        (1)

U = U₂sin(ω₂t + α₂).                                                                                                        (2)

1. Сигнали на входи осцилографа надходять від одного джерела, ω₁ = ω₂ = ω_.

Регулюванням підсилення у каналах осцилографа на його екрані утворюється стійке зображення еліпса, вписаного у квадрат із стороною 2r (рис. 1), де r – амплітудні відхилення променя на екрані по горизонталі і вертикалі.

Рис. 1. Еліпс, вписаний у квадрат

Співвідношення між осями еліпса і нахил великої осі до горизонталі визначається різницею повних фазових кутів першого і другого коливань:

Ψ₁ – Ψ₂ = (ωt + α₁) − (ωt + α₂) =  α₁ − α₂ = .

Рівняння еліпса у прямокутній системі координат:

,                                                                                           (3)

де х і у – координати точок еліпса.

Аналіз рівняння (3) дозволяє обчислювати фазовий зсув між коливаннями за виразами:

 = arcsin,                                                                                                               (4)

або  = arcsin.                                                                                                       (5)

Для оперативного визначення фазових зсувів можна використати прозору сітку з нанесеними поділками вздовж координатних осей (рис. 2).

Рис. 2. Вигляд прозорої сітки для накладання на екран осцилографа

На горизонтальній осі нанесені міліметрові поділки, на вертикальній осі – поділки, що відповідають кутам φ і які розраховані на основі виразу (5). Обмежимося кутами 0 ≤ ≤ . Сітка накладається на екран. Розмір і положення еліпса регулюються так, щоб він вписувався у квадрат, як показано на рис. 1. Кут  наближено можна визначити за точками перетину еліпса з вертикальною віссю сітки. Для більш точного розрахунку фазового зсуву користуються виразом (4).

При кутах  ≤  ≤ точність визначення кута різко знижується.

Методи та результати. Більш ефективним, на наш погляд, є інший варіант визначення кута . Для цього зробимо поворот осей на кут 45 ^о. Виконаємо перетворення виразу (3) для переходу в іншу систему координат х_1, у_{1 .} Маємо канонічне рівняння еліпса:

 +  = 1.                                                                                        (6)

Велика вісь еліпса 2а = 2r cos , мала вісь еліпса 2b = 2r sin. Звідси:

tg= , або .                                                                                           (7)

Як і у попередньому випадку можна використати раніше виготовлену сітку (рис. 3).

Рис. 3. Вигляд прозорої сітки з осями, повернутими на кут 45 ^о

Вздовж діагоналі квадрата, на якій відкладається мала вісь еліпса, поділки наносяться в міліметрах і у градусах, на другій діагоналі – поділки у міліметрах.

Правила встановлення сітки також, як і у попередньому випадку. Кут  відлічується за точкою перетину еліпса з діагоналлю квадрата, по якій відкладається мала вісь еліпса. Для більш точного визначення кута фазового зсуву слід користуватись виразом (7).

2. Сигнали надходять від різних джерел.

У певний момент часу ω₁ = ω₂ = ω . Внаслідок зміни температури джерел сигналів, зміни або стрибків напруги джерел та ін., частоти досліджуваних сигналів можуть мати відхилення у часі від середнього значення частоти ω:

ω₁ = ω +ω₁ ,

ω₂ = ω +ω₂,

де ω₁ і ω₂ – величини миттєвих відхилень частот сигналів від частоти ω.

Різниця повних фазових кутів у будь-який момент часу:

 ₋ = [(ω +ω₁) t +  α₁] − [(ω +ω₂) t +  α₂] =   + ,                               (8)

де  є функція часу і приймає значення у межах від нуля до (ω_1max+ ω_2max ) t.

Це приводить до трансформації еліпса під час досліджень, яка буде тим більша, чим більші значення ω₁   і ω₂ . Визначення фазового зсуву в такому випадку практично неможливою. Для прикладу наводимо форми фігур для деяких значень  ₋  (рис. 4). Фігури можна використовувати для порівняння частот сигналів.

 

 

Рис. 4. Форми фігур для деяких значень повних фазових кутів

3. Сигнали значно відрізняються за частотою, ω₁  ω_2.

Якщо частоти досліджуваних коливань відносяться як цілі числа, то на екрані осцилографа виникають більш складні фігури, деякі з них для різних співвідношень частот ƒ _х : ƒ _унаведені на рисунку 5.

 

Рис. 5. Вигляд деяких фігур Ліссажу для різних співвідношень частот

Ці фігури, з вищезазначених причин, не стійкі. Швидкість зміни форми фігури визначається діапазоном частот сигналів і коефіцієнтом їх нестабільності  = ƒ / ƒ.

Про вимірювання фазових зсувів для таких коливань говорити не можна, так як фазові зсуви можна визначити як різницю повних фазових кутів коливань, яка у будь-який момент часу залишається постійною. Все ж, у деяких навчальних посібниках, наприклад, [1], [2], [3], приводяться фігури Ліссажу для різних співвідношень частот і вказується кут зсуву фаз, що відповідає певній фігурі.

Список використаних джерел

1. Кучерук І. М. Загальний курс фізики: навч. посіб.: у 3 т. Т. 1: Механіка. Молекулярна фізика і термодинаміка / І. М. Кучерук, І. Т. Горбачук, П. П. Луцик; за ред. І. М. Кучерука. – К.: Техніка, 2006. – 532 с.: іл. 

2. Трофимова Т. И. Курс физики: учебное пособие для вузов / Т. И. Трофимова. – 2-е изд., перераб. и дополн. – М.: Высш. шк., 1990. – 478 с.: ил.

3. Савельев И. В. Курс общей физики: учеб. пособ.: в 3-х т. Т. 1: Механика. Молекулярная физика / И. В. Савельев. – 3-е изд., испр. – М.: Наука, 1986. – 432 с.: ил.