ISSN 2225-7551

УДК 621.822.172:621.7.079

Д.Ю. Федориненко, д-р техн. наук

Чернігівський національний технологічний університет, м. Чернігів, Україна

ОПТИМІЗАЦІЯ ПРОЕКТУВАННЯ ВИСОКОШВИДКІСНИХ ГІДРОСТАТИЧНИХ ОПОР РЕГУЛЬОВАНОГО ТИПУ

Д.Ю. Федориненко, д-р техн. наук

Черниговский национальный технологический университет, г. Чернигов, Украина

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ ГИДРОСТАТИЧЕСКИХ ОПОР РЕГУЛИРУЕМОГО ТИПА

Dmytro Fedorynenko, Doctor of Technical Science

Chernihiv National Technological University, Chernihiv, Ukraine

OPTIMIZATION OF DESIGN OF HIGH-SPEED HYDROSTATIC BEARINGS
OF ADJUSTABLE TYPE

Перспективним шляхом підвищення точності та продуктивності процесів механічного оброблення на верстатах є застосування шпиндельних гідростатичних опор регульованого типу. Розроблено методику багатокритеріальної оптимізації високошвидкісних гідростатичних опор з пружними елементами корпусу. Створена лінеаризована математична модель оптимізаційної задачі, яка дозволяє використовувати методи лінійного програмування для пошуку оптимальних значень параметрів. Запропонований алгоритм багатокритеріальної оптимізації шпиндельного вузла на основі методу ЛП пошуку, реалізований засобами пакета MathCAD. У результаті оптимізації отримані оптимальні значення конструкційних та експлуатаційних параметрів підшипників з метою забезпечення опорними вузлами точнісних і швидкісних характеристик шпиндельних вузлів.

Ключові слова: оптимальне проектування, гідростатична опора, метод ЛП пошуку, регулювання, шпиндель.

Перспективным путем повышения точности и производительности процессов механической обработки на станках является применение шпиндельных гидростатических опор регулируемого типа. Разработана методика многокритериальной оптимизации высокоскоростных гидростатических опор с упругими элементами корпуса. Создана линеаризованная математическая модель оптимизационной задачи, которая позволяет использовать методы линейного программирования для поиска оптимальных значений параметров. Предложен алгоритм многокритериальной оптимизации шпиндельного узла на основе метода ЛП поиска, реализованный средствами пакета MathCAD. В результате оптимизации получены оптимальные значения конструкционных и эксплуатационных параметров подшипников с целью обеспечения опорными узлами точностных и скоростных характеристик шпиндельных узлов.

Ключевые слова: оптимальное проектирование, гидростатическая опора, метод ЛП поиска, регулирование, шпиндель.

Prospective way to improve the accuracy and performance of the machining processes is the use spindle hydrostatic bearings adjustable type. The work is developed the technique of multi-criteria optimization of high-speed hydrostatic bearings with elastic elements of the body. Created linear mathematical model of optimization problem, which allows the use of methods linear programming to search for the optimal parameter values. The proposed algorithm for multiobjective optimization spindle knot on the basis of the linear programming method, implemented by means of MathCAD. As a result of optimization of the obtained optimal values of the design and operating parameters of bearings to ensure the supporting units of precision and speed characteristics of spindles.

Key words: optimal design, hydrostatic bearing, linear programming method, regulation, spindle.

Постановка проблеми. Сьогодні в умовах жорсткої конкуренції на ринках збуту продукції актуальною проблемою є підвищення якості машинобудівних виробів, продуктивності машинобудівного виробництва та скорочення термінів його технічного під­готовлення. Проблема якості та продуктивності безперервно пов’язана з точністю та продуктивністю механічного оброблення і, передусім, з точністю та робочими швидкостями шпиндельних вузлів, як однієї з основних формоутворюючих ланок верстата.

Одним з перспективних напрямків розвитку верстатобудування є створення новітніх прецизійних конструкцій шпиндельних вузлів при одночасному підвищенні швидкості їх обертання. Ефективним засобом вирішення поставлених проблем є застосування керованих гідростатичних, гідростатодинамічних підшипників як опор високошвидкісних шпиндельних вузлів, які поряд з високою жорсткістю та демпфуючою здатністю дозволяють керувати вихідними параметрами точності обертання шпинделя. Однак широке впровадження у практику верстатобудування нових конструкцій верстатів з керованими гідравлічними опорами шпинделя, незважаючи на переваги, стримується відсутністю методик проектування та практичних рекомендацій щодо їх промислового використання.

Подальше вдосконалення технічних рішень щодо розроблення високошвидкісних опор шпинделя регульованого типу, встановлення їх оптимальних параметрів є актуальною науково-технічною проблемою машинобудування, вирішення якої дозволить значно підвищити точність і продуктивність оброблення на металорізальних верстатах.

Аналіз досліджень і публікацій. Системні дослідження високошвидкісних гідростатичних опор (ГСО) виконані науковою школою Н.П. Артеменко, де на основі ґрунтовного теоретичного аналізу робочих процесів в опорах запропоновано певні схемні рішення конструкцій опор високошвидкісних роторів [1]. Наведені порівняння теоретичних і експериментальних результатів розрахунку динамічних характеристик роторів та вибору конструктивних параметрів ГСО [2].

У роботах [3; 4] зазначається, що ГСО роботоспроможні у вузькому діапазоні зміни їх геометричних та експлуатаційних параметрів. Це обумовлює необхідність у ґрунтовному аналізі робочих процесів в опорах, оптимального розрахунку конструктивних та технологічних параметрів опори, що дозволить забезпечити розширення швидкісного діапазону експлуатації шпиндельних вузлів на ГСО.

Слід також зазначити, що нині відсутні методики оптимального проектування ГСО з пружними елементами корпусу. Крім того, наявні методики оптимізації шпиндельних вузлів на ГСО не зручні з погляду формалізації проектних процедур, що фактично унеможливлює використання автоматизації проектування. З метою розширення технологічних можливостей верстатів та підвищення технічного рівня ГСО шпиндельних вузлів необхідне розроблення проектних методик на основі оптимізації вибору параметрів опор шпинделя, сучасних методів та систем автоматизованого проектування.

Мета статті. Розроблення методики та алгоритму оптимального проектування високошвидкісних шпиндельних вузлів на ГСО регульованого типу.

Виклад основного матеріалу. Оптимальне проектування шпиндельних вузлів передбачає побудову математичного опису всіх складових задачі, а саме: параметричних, функціональних обмежень, функції цілі, оптимізаційного алгоритму. Складність процесу оптимізації системи „шпиндель опори” полягає у значній розмірності простору „параметри оптимізації – функції цілі”.

У результаті аналізу літературних джерел, накопиченого досвіду експлуатації ГСО визначено критерії, які чинять найбільший вплив на якість високошвидкісних шпиндельних вузлів верстатів, а саме: жорсткість опори (jр); демпфування в опорі (hр); втрати потужності у мастильному шарі опори (Pр); витрата робочої рідини в опорі (Qр); час перехідного процесу опори (tп); нормована ступінь стійкості опори (0).

Параметри jр та hр є визначальними з погляду забезпечення високої точності обертання шпинделя. Втрати потужності, витрата рідини є лімітуючим фактором для застосування гідростатичного мащення високошвидкісних шпиндельних вузлів. Регульована ГСО є виконавчим механізмом системи автоматичного керування положенням шпинделя [3], тому важливими критеріями її працездатності є стійкість та швидкодія. Докладно питання розроблення шпиндельних ГСО регульованого типу викладені у монографії [3].

Таким чином, система цільових функцій виражається у вигляді: jр → max; hр → max; Pр → min; Qр → min; tп → min; 0 → max.

Математичне формулювання системи цільових функцій може бути представлено у вигляді:

, Н/м; , Нс/м;

, Вт;

, м3/с; , с; ; (1)

де рН – тиск насоса;

D – діаметр опорної шийки шпинделя;

la довжина аксіальної перемички;

0 – радіальний зазор в опорі;

 – коефіцієнт динамічної в’язкості рідини;

nш – частота обертання шпинделя;

, T1  постійні часу опори;

  абсолютна величина дійсної частини найближчого до уявної осі кореня характеристичного рівняння системи;

Kгсо  статична податливість ГСО;

m0маса шпинделя, приведена до центра передньої опори;

A1…A3 конструктивні параметри опори, які визначаються так:

; ,

, (2)

де φк – кутовий розмір кармана у тангенціальному напрямку опори;

nk – кількість карманів ГСО.

Значення радіальної жорсткості опори jр отримано за припущення, що відносний ексцентриситет 0,35 та , , де lk довжина кармана в аксіальному напрямку підшипника; φк – кутовий розмір тангенціальної перемички опори.

Передавальну функцію радіальної ГСО без урахування стискання рідини можна представити у вигляді [5]

,

де h(s), P(s)  перетворення по Лапласу відхилень зазору і силового навантаження на опорну шийку шпинделя відповідно.

Характеристичне рівняння системи буде . Замкнена радіальна ГСО являє собою коливальну ланку другого порядку [5], для якої виконується умова T1 < 2.

Корені характеристичного рівняння системи шукаються у вигляді [6] , де ; .

Покладемо 0, що має місце для прецизійних шпиндельних вузлів. Тоді для забезпечення умови jр → max справедливо співвідношення pk/pH=0,5 [7], де pk – тиск у кармані ГСО. З урахуванням зроблених припущень, нехтуючи стисканням рідини, отримаємо формули для знаходження постійних часу:

, , (3)

де ;

B1, B2 експлуатаційні параметри регульованої ГСО, які визначаються так:

, , (4)

де Rk гідравлічний опір витіканню рідини з кармана ГСО;

Rд – гідравлічний опір вхідного дроселя.

Опір Rд може бути визначений з рівняння нерозривності потоку рідини у вигляді . Скориставшись електричними аналогами гідравлічних величин, представимо опір Rk регульованого підшипника у вигляді паралельного з’єднання окремих опорів тангенціальних R і аксіальних Ra перемичок (рис. 1).

Рис. 1. До визначення гідравлічного опору Rk

При =0 можна записати . Для плоскопаралельної щілини при ламінарному русі рідини гідравлічний опір обчислюється у вигляді [4] ,
де b ширина перемички кармана; hп товщина мастильної плівки; Lп периметр витікання рідини з кармана.

З урахуванням вищенаведеного, після перетворень отримаємо

, (5)

де А4 конструктивний параметр опори, що обчислюється так

,

де ;

п  кут, що визначає положення внутрішнього паза гідростатичної втулки у тангенціальному напрямку підшипника.

Математичний опис параметрів оптимізації xi представлений у вигляді подвійних нерівностей вигляду

Враховуючи математичний опис функції цілі (1), параметрами оптимізації є pН, lа, D, δ0, µ, nш, mo, k. Параметри A1...А4 розраховуються при попередньо визначених оптимальних значеннях величин D, la і заданих значеннях nk, п. Зі встановлених значень параметрів A1...А4 визначаються оптимальні значення кута k. За наявності декількох можливих оптимальних значень k для окремої функції цілі приймається більше значення k з міркувань збільшення площі опорної поверхні ГСО.

Значення параметрів nk, п обумовлюються конструктивними особливостями та технологією виготовлення гідростатичної втулки спеціальної конструкції. Розміри внутрішнього паза гідростатичної втулки лімітуються вимогами до її втомної міцності та необхідністю відводу потоку рідини у тангенціальному напрямку підшипника. Рекомендується приймати п у межах 3...5.

Функції цілі 0, tп залежать від величин hр, Qр. Тому, враховуючи значимість величин hр, Qр, екстремальні значення 0, tп визначалися при попередньо встановлених для функції цілі hр оптимальних величинах параметрів , k, la, D, 0. Параметрами оптимізації, що варіюються, при визначенні 0, tп є mo і рН.

У разі потреби пошуку оптимального значення параметра nk в алгоритмі оптимізації під час розрахунку параметрів А2...А4, В1, В2 потрібно організувати додатковий цикл варіювання за nk, враховуючи співвідношення між nk і k у вигляді .

У загальному випадку задача оптимізації, враховуючи нелінійність функцій цілі, може бути розв’язана методами нелінійного програмування. Проте, якщо проаналізувати нелінійності присутні у показникових функціях, то можна бачити, що у логарифмічних координатах функції цілі набувають лінійної залежності від параметрів оптимізації. Для зручності логарифмування втрати потужності Pр розділимо на втрати, обумовлені тертям (перший доданок у відповідному виразі (1)) та втрати від прокачування робочої рідини крізь опору (другий доданок у виразі (1)).

Тоді у логарифмічних координатах функції цілі та параметричні обмеження набувають вигляду: lg(f(x1, x2, … , xk)) = lg(a) + y1·lg(x1) + y2·lg(x2) +…+ yk·lg(xk),

Лінійна постановка задачі дозволяє використовувати методи лінійного програмування. Для багатокритеріальної оптимізації шпиндельних вузлів найбільш доцільно використовувати оптимізаційні алгоритми на основі методу ЛПτ пошуку, який є детермінованим аналогом методу випадкового пошуку [8].

Основою зазначеного методу є зондування n-вимірного простору певною кількістю пробних точок, що належать до ЛПτ розподілу, алгоритм розрахунку якого наведений на рис. 2.

Для пошуку екстремуму функції зазвичай використовують N = 2k точок, де k – кількість параметрів, що оптимізуються [9]. Номер точки переводиться у бінарну систему у вигляді k координат. Для кожної координати записують дріб вигляду де 1, 2, …, m – розряди номера точки; f1, f2, …, fm – табличні чисельники.

Далі обчислюють значення знаменників 2m і чисельників за табличними даними [10]. Застосовуючи булеву операцію розбіжності, знаходяться значення виразу f = f1* f2* … *fm, де * – булевий оператор розбіжності (виключне АБО).

Отриманий дріб виду переводиться у десяткову систему числення. При цьому знаменник залишається тим самим, переводиться лише число f. Обчислене значення використовують для знаходження положення точки за однією координатою з заданою розмірністю де Amin, Amax – мінімальне та максимальне значення діапазону варіювання параметра оптимізації відповідно.

 

Рис. 2. Алгоритм розрахунку координат точок ЛПτ послідовності для зондування
багатовимірного простору

Аналогічним чином визначають k координат 2k точок ЛП розподілу.

Загальний алгоритм багатокритеріальної оптимізації шпиндельного вузла на регульованих ГСО на основі ЛП пошуку (рис. 3) реалізований засобами пакета MathCAD.

Як приклад розглянемо оптимізацію параметрів шпиндельного вузла токарного верстата УТ16А на чотирьохкарманних радіальних ГСО.

Простір функціональних та параметричних обмежень представлений у вигляді: jр ≥ 5·108, Н/м; hр ≥ 107, Нс/м; Pµ ≤ 750, Вт; Pq ≤ 1000, Вт; Qp ≤ 710-5, м3/с; 0 ≥ 0,2; tп ≤ 0,1 с; 1 ≤ pН ≤ 4, МПа; 0,003 ≤ lа ≤ 0,03, м; 0,03 ≤ D ≤ 0,2, м; 510-6δ0 ≤ 5010-6, м; 0,510-3µ ≤ 210-2, Па·с; 0,35 ≤ φk рад.; 500 ≤ nш ≤ 10000 хв-1; 10 ≤ m0 ≤ 30, кг; n= 5; п = 7,8510-2 рад.

За алгоритмом (рис. 3) розраховуються координати N точок (N = 28 = 256) зондування простору на основі ЛП послідовностей та обчислюються значення цільових функцій. Обґрунтованість вибору кількості пробних точок перевірялася розрахунком цільових функцій при значенні N=2k+1. При цьому різниця значень цільових функцій знаходилася у межах до 4%.

У результаті розрахунку за алгоритмом (рис. 3) отримано сім номерів точок при екстремальному значенні кожної функції цілі (jр → max; hр → max; Pµ → min; Pq → min; Qр → min; tп → min; 0 → max).

Рис. 3. Алгоритм багатокритеріальної оптимізації шпиндельних вузлів

Далі постає задача ітеративного узгодження отриманих оптимальних значень. Для цього попередньо здійснювалося ранжування для кожної функції цілі, враховуючи вплив на вихідну точність обертання шпиндельного вузла. Як видно з математичної моделі оптимізаційної задачі, критерії tп, 0, що характеризують динамічну якість регульованої ГСО, є залежними від інших функцій цілі tп, 0 = f (hp, Qp). Тому ранжуванню піддавалися тільки некорельовані (незалежні) критерії оптимізаційної задачі (jр, hр, Pµ, Pq, Qр).

Для визначення значимості критеріїв застосовано метод рангової кореляції [11], який ґрунтується на систематизації апріорної інформації. Для формування апріорної інформації було здійснено опитування фахівців у галузі гідроприводу верстатів. Ступінь узгодженості думок спеціалістів оцінювалася коефіцієнтом конкордації [11], значимість якого перевірялася на основі 2 критерію Пірсона. Значимість коефіцієнта конкордації дозволяє отримати ранжований ряд, який наведено у порядку зменшення впливу факторів

jр hр Pµ Pq Qр tп 0. (6)

Ітеративне узгодження полягає у пошуку значень локальних параметрів оптимізації, які б задовольняли умовам простору функціональних та параметричних обмежень при одночасному забезпеченні екстремуму функцій цілі за ранжованим рядом (6). Відповідно до методики [9] пошук спочатку здійснювався в околицях точки N=16 з екстремальним значенням jр у чотирьохвимірному паралелепіпеді зі сторонами 0,95xj xj 1,05xj, де x (pH, D, la, 0). У результаті зондування простору параметрів оптимізації xj розраховувалися нові значення критеріїв ряду (6), починаючи з hp у порядку їх значимості. У результаті отримали покращену точку 16 з набором параметрів оптимізації .

Далі пошук відбувався в околицях точки N=81 з екстремальним значенням демпфування hp у прямокутнику зі сторонами 0,95xh xh 1,05xh, де xh (, k), при незмінному наборі параметрів оптимізації . Аналогічним чином ітерації проводилися за іншими критеріями ряду (6) з урахуванням рангу.

У результаті остаточної оптимізації отримали покращену точку N з набором оптимальних параметрів: µ = 0,015 Па·с; pН = 2 МПа; D = 0,16 м; δ0 = 1110-6 м; lа = 0,0185 м, φk = 80°, mo=10,25 кг.

У ході математичного моделювання оптимізаційної задачі було встановлено, що значення частот обертання шпинделя у діапазоні від 500 хв-1 до 1700 хв-1 задовольняють всі критеріальні обмеження. Під час роботи на більш високих частотах для зменшення втрат потужності необхідно застосовувати малов’язкі мастила та збільшувати регульоване значення зазору δ0.

Висновки. Встановлено оптимальні значення параметрів оптимізації радіальних шпиндельних гідростатичних опор регульованого типу токарного верстата, що дозволило підвищити технічний рівень проектних рішень.

Розроблено науково-обґрунтовану методику багатокритеріальної оптимізації шпиндельних вузлів на регульованих гідростатичних опорах, що дозволяє встановити оптимальні конструктивні та експлуатаційні параметри підшипників з метою забезпечення опорними вузлами точнісних і швидкісних характеристик шпиндельних вузлів.

Перспективним напрямом подальших досліджень є оптимальне проектування гідравлічних опор шпинделя комбінованого типу, зокрема гідростатодинамічних, з метою підвищення швидкохідності шпиндельних вузлів при одночасному забезпеченні високої точності обертання.

Список використаних джерел

1. Гидростатические опоры роторов быстроходных машин / [Артеменко Н. П., Чайка А. И., Доценко В. Н. и др.] ; под ред. Н. П. Артеменко. – Х. : Основа, 1991. – 197 с.

2. Артеменко Н. П. Некоторые результаты экспериментальных исследований динамики роторов на гидростатических подшипниках / Н. П. Артеменко, В. Н. Доценко, А. И. Зубов // Исследование и проектирование гидростатических опор и уплотнений быстроходных машин : сб. статей / под ред. Н. П. Артеменко. 1973. Вып. 1. С. 90-100.

Наукова бібліотека ЧНТУ © 2012