ISSN 2225-7551

И.М. Кузяев, д-р техн. наук

В.Н. Анисимов, канд. техн. наук

ГВУЗ «Украинский государственный химико-технологический университет», г. Днепропетровск, Украина

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ДЛЯ УЗЛОВ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ

Рассмотрены неизотермические процессы, происходящие в процессе эксплуатации подшипников скольжения. Представлено решения для определения температурного поля и температурных напряжений в теле втулки, выполненной из полимерного материала. Решение для определения температурного поля в теле подшипника получено с использованием интегрального преобразования Лапласа. Температурные напряжения находились с учетом вязкоупругих свойств материала втулки подшипника. Разработаны программные блоки САПР для реализации полученных математических моделей с использованием математического пакета Mathcad.

Ключевые слова: подшипник, температурное поле, напряжение, преобразование Лапласа.

Розглянуто неізотермічні процеси, що відбуваються в процесі експлуатації підшипників ковзання. Представлено рішення для визначення температурного поля й температурних напружень у тілі втулки, виконаної з полімерного матеріалу. Рішення для визначення температурного поля в тілі підшипника отримано з використанням інтегрального перетворення Лапласа. Температурні напруження визначалися з урахуванням в’язкопружних властивостей матеріалу втулки підшипника. Розроблено програмні блоки САПР для реалізації отриманих математичних моделей з використанням математичного пакета Mathcad.

Ключові слова: підшипник, температурне поле, напруження, перетворення Лапласа.

Not isothermal processes occurring while in service of bearings of sliding are considered. It is presented decisions for definition of a temperature field and temperature pressure in a body of the plug executed from a polymeric material. The decision for definition of a temperature field in a bearing body is received with use of integrated transformation Laplace. Temperature pressure were taking into account viscoelastic properties of a material of the plug of the bearing. Program blocks SAPR are developed for realization of the received mathematical models with use of mathematical package Mathcad.

Key words: the bearing, a temperature field, pressure, transformation Laplace.

Постановка проблемы. В подавляющем большинстве оборудования, имеющего вращательные элементы, используются подшипники скольжения, одним из основных элементов которых являются вкладыши или втулки, выполненные из антифрикционного материала. При этом данного типа подшипники могут работать в режиме жидкостного трения или без смазки. В последнем случае втулки изготавливаются из самосмазывающихся материалов, что значительно упрощает конструкцию подшипникового узла, устраняя конструктивные элементы, связанные с подачей и отводом смазывающихся материалов.

Основные условия функционирования подшипников скольжения с самосмазывающимися материалами связаны с тем, что в процессе скольжения возникают микроабразивные частицы, которые имеют способность высвобождать твердую смазку из граничного слоя скольжения, внедренную в самосмазывающийся материал. При этом создается прочная пленка твердой смазки на сопрягаемых поверхностях. В процессе износа этой пленки при скольжении, обусловленном высокой скоростью движения или сторонними частицами, возникают дополнительные энергетические условия, приводящие к возрастанию износа, что, в свою очередь, приводит к высвобождению дополнительной порции сухой твердой смазки, вызывающей восстановление смазывающей пленки. Протекание процесса по данной схеме особую ценность имеет при эксплуатации оборудования в тяжелых условиях работы, а именно, при больших уровнях нагрузок и высоких температурных полях, возникающих как под воздействием внешних температурных полей, так и за счет сил трения в зоне контакта с вращающимися и неподвижными элементами подшипника скольжения. Поэтому особое значение при проектировании подшипников скольжения имеет оптимизация температурно-силовых факторов в соответствии с геометрическими параметрами и свойствами используемых рабочих элементов.

Анализ публикаций. Для описания неизотермических процессов, возникающих в подшипниковых узлах скольжения, следует воспользоваться уравнениями баланса тепловой энергии с соответствующими граничными условиями. При этом в зависимости от геометрической конфигурации рабочих элементов выбирается и соответствующая система координат. Как правило, рабочие элементы подшипников скольжения выполнены цилиндрической формы, значит и для построения математической модели следует воспользоваться цилиндрической системой координат. При этом для описания температурного поля в цилиндрических элементах при нестационарных режимах работы, выполнив необходимые допущения, приходим к уравнениям теплопереноса в таком виде [1-4]:

,                                                                   (1)

где  – функциональная зависимость температуры от радиуса  и времени ;  – плотность материала втулки; ,  – коэффициенты соответственно теплоемкости и теплопроводности.

В работе [5], базируясь на уравнении (1), разработана математическая модель, позволяющая моделировать температурные поля в подшипниковом узле скольжения. При этом в качестве расчетной схемы принята трехслойная модель, в средине которой находится втулка. Параметры втулки, входящие в уравнение (1), обозначаются индексом . Наружным и внутренним элементами данной модели будут корпус и вал, параметры которых обозначаются соответственно индексами  и .

С целью определения зависимости температуры от параметров, входящих в уравнение (1), в явном виде следует выбрать соответствующие граничные условия по радиусу и начальное условие по времени.

Для втулки на внутренней границе, вследствие наличия сил трения между ней и валом, следует принять температурное условие второго рода, а именно:

 при .                                                                                             (2)

В выражении (2) введены такие обозначения: – внутренний радиус втулки;  – тепловой поток на границе раздела вал-втулка, который можно представить в нескольких видах (в зависимости от наличия и конструктивного исполнения системы охлаждения вала). Если вал имеет систему для охлаждения, например, вал выполнен с центральным отверстием для подвода хладагента, то тепловой поток на границе можно записать так:

,                                                       (3)

где  – коэффициент трения между втулкой и поверхностью вала;  – давление, развиваемое на границе раздела вал-втулка;  – толщина тела вала (разность между наружным и внутренним диаметрами вала);  – линейная скорость наружной поверхности вала.

При записи выражения (3) и входящих в него величин пренебрегается разницей между внутренним радиусом втулки и наружным радиусом вала (). Кроме того, также принимается равенство между наружным диаметром втулки и внутренним диаметром вала ().

Аналогичным образом можно, в случае наличия охлаждения, представить граничное условие и на наружной границе втулки, а именно:

 при ,                                                                                             (4)

где

.                                                                       (5)

В последние два выражения введены такие обозначения:  – тепловой поток, который отводится от наружной границы втулки; – наружный радиус втулки;  – толщина тела корпуса.

Если же конструктивное исполнение подшипниковых узлов не позволяет выполнить систему охлаждения вала, то большее количество тепла, выделившееся на границе раздела вал-втулка, будет накапливаться в этой зоне. Определенная часть тепла будет отводиться через торцевые поверхности вала и радиальную поверхность вала вне зоны установки подшипника. В таком случае внутреннюю поверхность втулки можно считать теплоизолированной и граничное условие (2) перепишется так:

 при ,                                                                                           (2а)

где

.                                                                                                      (3а)

Величина  представляет собой тепло, отводимое через торцевые поверхности вала и радиальную поверхность вала вне зоны установки подшипника.

Решение, как обычных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных типа (1) удобно находить с использованием операционного исчисления, основанного на интегральном преобразовании Лапласа [6-8].

Операционный метод решения задачи можно свести к следующим этапам:

– первый: от искомой функции (оригинала)  переходят к функции изображения , при этом величина  соответствует действительности переменной, а  – в общем случае может быть и комплексной переменной;

– второй: над изображением  выполняют операции, которые соответствуют заданным операциям над  и получают операторное уравнение относительно . При этом операции над изображением оказываются значительно более простыми, например, дифференцирование оригинала соответствует умножению изображения на переменную , а интегрирование – деление на и т. п.;

– третий: полученное операторное уравнение решают относительно , что, как правило, сводится к простым алгебраическим действиям;

– четвертый: от найденного изображения  переходят к оригиналу , который является искомой функцией.

Для перехода от оригинала к изображению в общем случае можно использовать такое выражение:

.                                                                                                         (6)

Чтобы осуществить обратный переход (от изображения к оригиналу) опять же в общем случае можно воспользоваться таким соотношением:

,                                                                                               (7)

где  – мнимая единица.

Для упрощения прямого и обратного переходов, чтобы каждый раз не пользоваться уравнениями (6) и (7), разработано большое количество теорем. Так, для прямого перехода от оригинала к изображению основной теоремой является теорема о дифференцировании оригинала, которая для производной n-й степени имеет вид:

,                                                     (8)

где  – начальное условие для искомой величины; ,  – начальные условия для производных от искомой величины, начиная от первой и заканчивая .

Кроме того, для решения уравнения (1), с учетом прямого и обратного переходов, также используют такие теоремы:

– теорему умножения (теорему Бореля):

,                                                                                          (9)

– вторую теорему разложения:

,                                                                                                     (10)

где  – значения полюсов; ↔ − двухсторонняя стрелка означает возможность взаимного перехода; .

Цель статьи. Получить математические модели, позволяющие моделировать неизотермические процессы в узлах подшипников скольжения. Полученные уравнения должны позволить описывать температурные поля и температурные напряжения в теле подшипника с учетом его вязкоупругих свойств.

Изложение основного материала. Используя прямое преобразование Лапласа по времени для уравнения (1) с учетом выражения (8), получаем такое операторное уравнение:

,                                                                                (11)

где  – изображение температуры ;  − символ производной по координате ;  – начальная температура рассматриваемого элемента;  – коэффициент температуропроводности .

Уравнение (11) является одной из разновидностью уравнений Бесселя [8; 9], для данного случая его решение имеет следующий вид:

,                                               (12)

где ,  – функции Бесселя соответственно первого и второго рода нулевого порядка;  – мнимая единица;  и  – константы интегрирования.

Выполняя соответствующие преобразования с учетом приведенных зависимостей, получено решение тепловой задачи для подшипникового узла в таком виде:

,                                                                                                      (13)

где

;

.

Комплексы, входящие в последние выражения, имеют вид:

;                                                                 (14)

;                                           (15)

;                                       (16)

;                                                       (17)

.                                                                                       (18)

В уравнения (14) – (18) входят такие обозначения (не введенные ранее): ,  – функции Бесселя соответственно первого и второго рода первого порядка; ; ; ;  – нули, которые определяются из выражения:

.                                                           (19)

Определение нулей  по уравнению (19) для конкретных геометрических размеров подшипника приведено в программном блоке САПР-1. Графическое представление нулей изображено на рис. 1. Следует отметить, что как рисунке 1, так и все последующие рисунки, полученные в результате расчетов в программных блоках с использованием пакета Mathcad, дополнительно обрабатывались с помощью прикладного пакета Photoshop.

Программный блок САПР-1

Определение нулей  по уравнению (19)

 

    

Описание: 1a     Описание: 1b

а)                                                                                   б)

Рис. 1. Графическое определение нулей:

а − на начальном отрезке; б − на конечном отрезке

Начальные значения нулей

Чтобы решить уравнение (13) с учетом соотношений (14) – (18), при выполнении условия (19), необходимо дополнительно определить температуры на границах втулки, а именно:  и . Для этого на основе выражения (13), при подстановке в него соответствующих граничных значений, можно представить такое соотношение в матричной форме:

,                        (20)

где

;

;

;

;

; ;

; ;

.

Прежде чем воспользоваться полученными формулами для определения температуры в подшипнике, следует иметь соответствующие зависимости коэффициента трения  от основных параметров в зоне контакта, а именно: температуры, давления и скорости скольжения.

Для полиуретана экспериментальные значения коэффициента трения  от температуры приведены в таблице 1 (для контактного давления = 0,35 МПа и скорости скольжения = 0,4 м/с).

Таблица 1

Зависимость коэффициента трения от температуры для полиуретана

293

303

313

323

333

343

353

363

373

383

393

403

413

0,85

0,94

1,02

1,08

1,13

1,18

1,19

1,2

1,16

1,1

1,04

0,97

0,9

 

Для того чтобы воспользоваться данными, приведенными в таблице 1, для расчета температурного поля следует выполнить аппроксимацию.

Порядок выполнения аппроксимации с использованием одной из встроенных в пакет Mathcad функций приведен в программном блоке САПР-2. Графики для экспериментальных и аппроксимируемых значений коэффициента трения приведены на рисунке 2.

Программный блок САПР-2

Аппроксимация коэффициента трения

    

Описание: 2

Рис. 2. Графики зависимости коэффициента трения от температуры:

• • •  − график для экспериментальных значений ();

─── − график для аппроксимируемых значений ()

Расчет температурного поля во втулке подшипника, выполненного из полиуретана, с учетом граничных условий (2) и (3) и соотношения (20) приведен в программном блоке САПР-3. Объемный график распределения температуры, полученный из программного блока САПР-3, представлен на рисунке 3.

Программный блок САПР-3

Расчет температурного поля во втулке подшипника, исходя из условий (2) и (3)
и соотношения (20)

      

     

      

   

 

    

    

 

 

      .

Описание: 3

Рис. 3. Объемный график распределения температуры в теле втулки, изготовленной
из полиуретана, с учетом граничных условий (2) и (3)

Вследствие того, что на границах втулки будут различные температурные условия, в результате будет возникать перепад температур, вызывающий появление температурных напряжений. Для данной геометрической конфигурации температурные напряжения можно рассчитать по формулам, соответственно для радиальных , кольцевых  и осевых  напряжений [10]:

;                                                                 (21)

;                                                        (22)

.                                                   (23)

Комплекс  имеет вид:

,                                                                          (24)

где  – коэффициент линейного расширения;  – модуль упругости;  – коэффициент Пуассона; ; .

Втулки подшипников скольжения в большинстве случаев изготавливают из полимерных материалов, которые являются вязкоупругими материалами, что следует учитывать при расчетах напряженно-деформированного состояния элементов из полимерных материалов и их композитов. При этом существуют несколько методов, учитывающих явления ползучести и релаксации при определении напряжений и деформаций в элементах под воздействием силовых, температурных и других энергетических полей. Одни методы основаны на изначальном использовании вязкоупругих моделей [11-13], а другие – базируются на использовании упругих решений с переходом к вязкоупругому обобщению [14-16].

Используя упругое решение температурной задачи в виде системы (21) – (23) с учетом (24), перейдем к вязкоупругому решению, принимая положения из [14]. При этом следует в первую очередь подчеркнуть, что переход от упругого решения к вязкоупругому опять же связан с интегральным преобразованием Лапласа, а также с его модификацией – интегральным преобразованием Лапласа-Карсона. При этом одной из основных теорем из операционного исчисления является теорема умножения, представленная уравнением (9).

При переходе от упругого решения к вязкоупругому, после соответствующих преобразований появляется функция, получившая название связной ползучести и зависящая от параметра , значение которой может быть разным. Аналитически данная функция записывается таким образом:

.                                                                                                                (25)

Во многих случаях значение  составляет 0,5 и 2.

Параметр  через коэффициент Пуассона записывается так:

.                                                                                                                      (26)

При моделировании сложного напряженного состояния зачастую недостаточно иметь значение только модуля упругости Юнга , но и следует знать модуль сдвига  и объемный модуль . Данные величины связаны между собой такими выражениями:

.                                                                                                              (27)

С учетом последних выражений запишем соотношение для величины , а также ее изображение после преобразования Лапласа-Карсона, принимая условие независимости объемного модуля  от времени:

,                                                                                               (28)

где – изображение по Лапласу-Карсону функции сдвиговой релаксации.

В выражении (24) имеется один комплекс, который следует преобразовать при переходе от упругого решения к вязкоупругому, а именно: . Выполнив замену данного комплекса через параметр , а также осуществив прямое и обратное преобразования, получаем:

.                                                       (29)

Если в первом приближении взять среднее значение величины  и считать ее константой, тогда вместо преобразования (29) можно записать такое соотношение:

.                                                                    (30)

Необходимо отметить, что при значениях аргумента , функцию  можно представить так:

.                                                                                                            (31)

В таком случае вместо функции ползучести можно записать выражение через коэффициент Пуассона, если он известен. При этом для вязкоупругих задач коэффициент Пуассона должен быть представлен функциональной зависимостью от времени.

С учетом соотношений (26), (30) и (31), а также зависимости коэффициента Пуассона от времени, уравнения (21) – (24) перепишутся таким образом:

;                                                                               (32)

;                                                                 (33)

;                                                           (34)

.                                                                                          (35)

Для определения экспериментальных значений коэффициента Пуассона  проведены замеры продольной  и поперечной  деформаций во времени . Результаты экспериментов следующие: = (0,119; 0,2381; 0,3571; 0,4762; 0,5952; 0,7143; 0,8334; 0,9524; 1,0714; 1,1905; 1,3095; 1,4286; 1,5476; 1,6667; 1,7857; 1,9048; 2,0238); = (0,053; 0,086; 0,1241; 0,1442; 0,1606; 0,1788; 0,1898; 0,2001; 0,2135; 0,2226; 0,2299; 0,239; 0,250; 0,2573; 0,2646; 0,2737; 0,2792); = (34; 68; 102; 136; 170; 204; 238; 272; 306; 340; 374; 408; 442; 476; 510; 544; 578) с.

Порядок выполнения аппроксимации коэффициента Пуассона приведен в программном блоке САПР-4. Графики для экспериментальных и аппроксимируемых значений коэффициента Пуассона приведены на рисунке 4.

Программный блок САПР-4

Аппроксимация коэффициента Пуассона

     

 

  

  

   

Описание: 4

Рис. 4. Графики зависимости коэффициента Пуассона от температуры:

• • •  − график для экспериментальных значений ();

─── − график для аппроксимируемых значений ()

Порядок выполнения расчетов температурных напряжений для упругой и вязкоупругой задач приведен в программном блоке САПР-5. Плоские графики изменения напряжений для упругой задачи приведены на рисунке 5. Объемные графики изменения напряжений для вязкоупругой задачи изображены на рисунке 6.

Программный блок САПР-5

Расчет температурных напряжений

 

  

 

Упругая задача

Описание: 5aОписание: 5b

а)                                                                   б)

Рис. 5. Плоские графики изменения напряжений для упругой задачи с учетом
распределения температур по рисунку 3:

а − радиальные напряжения; б − кольцевые (──) и осевые (• • •) напряжения

 

Вязкоупругая задача

 

Описание: 6a

а)

 

Описание: 6b

б)

Рис. 6. Объемные графики изменения напряжений для вязкоупругой задачи
с учетом распределения температур по рисунку 3:

а − радиальные напряжения; б − осевые напряжения

При выполнении граничных условий (2а) и (3а) температурный режим значительно ухудшается. При этом возрастает перепад температур, что в свою очередь приводит к увеличению температурных напряжений. На рисунке 7 представлен объемный график распределения температур при условии, когда от зоны раздела отводится 90 % тепла, полученного от работы трения (скорость скольжения и давление приняты такими же, как и для рис. 3, а время составляет всего 3 с).

Как видно из рис. 7, даже при отводе 90 % тепла из зоны контакта, на границе раздела в течении трех секунд температура достигает 493 К, что может привести к термодеструкции.

На рисунке 8 приведены графики для температурных напряжений, полученные с учетом перепада температур по рисунку 7. При этом следует отметить значительный рост всех компонентов напряжений.

Описание: 7

Рис. 7. Объемный график распределения температуры в теле втулки, изготовленной
из полиуретана, с учетом граничных условий (2а) и (3а)

 

Описание: 8a    Описание: 8b

а)                                                                                      б)

Рис. 8. Плоские графики изменения напряжений для упругой задачи с учетом
распределения температур по рисунку 7:

а − радиальные напряжения; б − кольцевые (──) и осевые (• • •) напряжения

Выводы.

1. Получены математические модели для анализа распределения температурного поля во втулке (вкладыше) подшипников скольжения, как при наличии охлаждающего отверстия вдоль оси вала, так и без него.

2. Получены математические модели для расчета температурных напряжений с учетом вязкоупругих свойств материала.

3. Разработаны программные блоки на базе математического пакета Mathcad для моделирования температурных полей и температурных напряжений.

4. Результаты, приведенные в программных блоках, показывают, что при определенных соотношениях геометрических и технологических параметров, в соответствии с характеристиками материала, могут возникать значительные температурные поля в зоне контакта втулки с валом, что может явиться причиной термомеханической деструкции. Полученные математические модели позволяют оптимизировать условия эксплуатации подшипников скольжения.

Список использованных источников

1. Лыков В. А. Теория теплопроводности / В. А. Лыков. – М.: Высш. шк., 1967. – 599 с.

2. Кузяєв І. М. Моделювання роботи та проектування екструзійних агрегатів з розробкою елементів САПР / І. М. Кузяєв. – Дніпропетровськ: ДВНЗ УДХТУ, 2008. – 474 с.

3. Кузяев И. М. Моделирование работы и проектирование экструзионных агрегатов с разработкой блоков САПР. Червячные прессы / И. М. Кузяев, А. Д. Петухов. –  Днепропетровск: ГВУЗ УГХТУ, 2012. – 413 с.

4. Кузяєв І. М. Механіка та реологія полімерів: навч. посіб. [для студ. вищ. навч. закл.] / І. М. Кузяєв. – Дніпропетровськ: УДХТУ, 2002. – 386 с.

5. Кузяев И. М. Анализ температурных процессов в подшипниках скольжения с учетом трения / И. М. Кузяев, В. Н. Анисимов // Проблеми трибології (Problems of Tribology). – 2012. – № 1. – C. 27-40.

6. Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. – М.: Наука, 1973. – 736 с.

7. Диткин В. А. Интегральные преобразования и операционное исчисление / В. А. Диткин, А. П. Прудников. – М.: Наука, 1974. – 544 с.

8. Кузяєв І. М. Основи математичного моделювання процесів по переробці полімерних матеріалів: навчальний посібник / І. М. Кузяєв, О. Н. Півень, В. П. Місяць. – Дніпропетровськ: ДВНЗ УДХТУ, 2012. – 283 с.

9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: пер. с нем. С. Ф. Фомина / Э. Камке. – М.: Наука, 1976. – 576 с.

10. Кантарович З. Б. Основы расчета химических машин и аппаратов / З. Б. Кантарович. – М.: ГНТИМЛ., 1960. – 743 с.

11. Виноградов Г. В. Реология полимеров / Г. В. Виноградов, А. Я. Малкин. – М.: Химия, 1977. – 440 с.

12. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости: пер. с англ. / Р. Кристенсен; под ред. Г. С. Шапиро. – М.: Мир, 1974. – 338 с.

13. Колтунов М. А. Ползучесть и релаксация / М. А. Колтунов. – М.: Высшая школа, 1976. – 277 с.

14. Колтунов М. А. Прочностные расчеты изделий из полимерных материалов / М. А. Колтунов, В. П. Майборода, В. Г. Зубчанинов. – М.: Машиностроение, 1983. – 239 с.

15. Кузяев И. М. Расчет давления в зоне контакта жесткой сферы с вязкоупругой средой / И. М. Кузяев, А. И. Буря // Проблеми трибології. – 2011. – № 1. – С. 136-141.

16. Буря А. И. Анализ деформированно-напряженного состояния при скольжении жесткого тела со сферической поверхностью контакта по наклонной поверхности вязкоупругой среды / А. И. Буря, И. М. Кузяев, М. Е. Казаков [и др.] // Труды 8-го Междунар. симпозиума по фрикционным изделиям и материалам. ЯРОФРИ-2010. – 2010. – C. 23-28.